Wykopanie studni o głębokości 25 m kosztuje około 1100 zł, jeśli pierwszy metr kosztuje 8 zł, a cena każdego kolejnego wzrasta o 3 zł. Jest to zadanie z ciągu arytmetycznego, ponieważ koszt kolejnych metrów zwiększa się zawsze o tę samą kwotę. Sprawdź obliczenia krok po kroku oraz wyjaśnienie drugiej części zadania.
Jak obliczyć koszt wykopania 25-metrowej studni?
Cena wykopania kolejnych metrów tworzy ciąg arytmetyczny. Pierwszy metr kosztuje 8 zł, a różnica między cenami sąsiednich metrów wynosi 3 zł.
Dane z zadania można zapisać następująco:
- pierwszy wyraz ciągu: a1 = 8,
- różnica ciągu: r = 3,
- liczba wykopanych metrów: n = 25,
- szukana wartość: suma kosztów wszystkich metrów.
Najpierw trzeba obliczyć cenę wykopania 25. metra. Służy do tego wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
Cena wykopania n-tego metra wynosi an = a1 + (n − 1)r.
Po podstawieniu danych otrzymujemy:
a25 = 8 + (25 − 1) · 3 = 8 + 72 = 80 zł
Kwota 80 zł oznacza wyłącznie cenę wykopania 25. metra. Nie jest to koszt całej studni.
Jaki jest koszt całej studni o głębokości 25 m?
Aby obliczyć całkowity koszt, należy dodać ceny wszystkich 25 metrów. Wygodniej zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn = (a1 + an) · n ÷ 2.
Podstawiamy pierwszy i ostatni wyraz ciągu oraz liczbę metrów:
S25 = (8 + 80) · 25 ÷ 2
S25 = 88 · 25 ÷ 2 = 44 · 25 = 1100 zł
Odpowiedź – wykopanie całej studni o głębokości 25 m kosztuje 1100 zł.
Jak obliczyć głębokość studni za 798 zł?
W drugim podpunkcie znamy całkowity koszt, ale nie znamy liczby wykopanych metrów. Ponownie korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
798 = [8 + 8 + (n − 1) · 3] · n ÷ 2
Po uproszczeniu nawiasu:
798 = [16 + 3n − 3] · n ÷ 2
798 = (3n + 13)n ÷ 2
Mnożymy obie strony przez 2:
1596 = (3n + 13)n
Po wymnożeniu otrzymujemy równanie kwadratowe:
3n2 + 13n − 1596 = 0
Obliczamy wyróżnik:
Δ = 132 − 4 · 3 · (−1596)
Δ = 169 + 19152 = 19321
Pierwiastek z wyróżnika wynosi 139, dlatego:
n1 = (−13 − 139) ÷ 6 = −152 ÷ 6
n2 = (−13 + 139) ÷ 6 = 126 ÷ 6 = 21
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, ponieważ głębokość studni nie może być liczbą ujemną. Zostaje n = 21.
Jak sprawdzić wynik dla 21 metrów?
Dla 21 metrów cena ostatniego metra wynosi:
a21 = 8 + (21 − 1) · 3 = 8 + 60 = 68 zł
Całkowity koszt można sprawdzić przez dodanie pierwszego i ostatniego wyrazu:
S21 = (8 + 68) · 21 ÷ 2
S21 = 76 · 21 ÷ 2 = 38 · 21 = 798 zł
Wynik się zgadza, więc za 798 zł wykopano studnię o głębokości 21 m. Cena 68 zł dotyczy natomiast wyłącznie wykopania ostatniego, 21. metra.
Jak odróżnić cenę ostatniego metra od kosztu całej studni?
W zadaniach tego typu łatwo pomylić n-ty wyraz ciągu z sumą wszystkich wyrazów. Cena pojedynczego metra rośnie stopniowo, dlatego całkowity koszt jest sumą cen od pierwszego do ostatniego metra.
| Wielkość | Wzór | Znaczenie |
| Cena n-tego metra | an = 8 + (n − 1) · 3 | Koszt jednego, konkretnego metra |
| Koszt całej studni | Sn = (a1 + an) · n ÷ 2 | Suma cen wszystkich metrów |
| Studnia 25-metrowa | S25 = 1100 zł | Łączny koszt wykopania 25 metrów |
Właśnie dlatego obliczenie a25 = 80 zł nie odpowiada na pytanie o całkowity koszt. Jest to tylko cena wykopania 25. metra.
Warto zapamiętać:
- ceny kolejnych metrów tworzą ciąg arytmetyczny,
- 25. metr kosztuje 80 zł,
- cała studnia o głębokości 25 m kosztuje 1100 zł,
- za 798 zł można wykopać studnię o głębokości 21 m.
